Equações perguntam quando duas coisas são iguais; o mundo real, na maior parte do tempo, pergunta outra coisa: quando o lucro fica positivo, quando a dose passa do limite, quanto preciso tirar na prova para a média dar pelo menos 6. Isso é inequação, a matemática do pelo menos e do no máximo. Este guia ensina, no nível de uma aula particular, as regras das desigualdades (incluindo a famosa inversão do sinal), as inequações de 1º e 2º grau, o quadro de sinais das inequações produto e quociente e as modulares, com exemplos resolvidos, erros comuns e a calculadora de inequações do portal, que mostra o estudo do sinal e a reta numérica de cada resposta.
Desigualdades: as quatro comparações
Os sinais são quatro: maior, menor, maior ou igual, menor ou igual. Os dois primeiros são estritos (o valor de fronteira NÃO serve); os dois últimos são largos (a fronteira serve). A diferença parece miúda e decide pontos em prova: x maior que 2 não inclui o 2; x maior ou igual a 2 inclui. Na reta numérica, a convenção é bolinha aberta para estrito, fechada para largo.
Resolver uma inequação é encontrar o conjunto-solução: todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira. Quase sempre a resposta é um intervalo ou uma união de intervalos, e é por isso que o assunto exige duas fluências: a algébrica, para manipular, e a de notação, para escrever a resposta de três formas equivalentes (desigualdade, intervalo e reta numérica).
As regras do jogo (e a regra de ouro)
Somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade: se a é menor que b, então a mais c é menor que b mais c, sempre. Multiplicar ou dividir por um número POSITIVO também preserva. A regra de ouro entra no terceiro caso: multiplicar ou dividir por um número NEGATIVO INVERTE o sentido da desigualdade.
O motivo é visual: multiplicar por menos 1 espelha a reta numérica em torno do zero. O 2 está à esquerda do 5 (2 menor que 5); os espelhos, menos 2 e menos 5, trocam de ordem: menos 2 está à DIREITA de menos 5 (menos 2 maior que menos 5). Toda multiplicação por negativo carrega esse espelhamento, e a inversão do sinal apenas o registra. Quem entende o espelho nunca mais esquece a regra; quem decora, esquece na primeira prova.
Duas operações proibidas completam o quadro: não eleve os dois lados ao quadrado sem análise (o quadrado bagunça a ordem quando há negativos: menos 3 é menor que 2, mas 9 é maior que 4) e não multiplique por expressões com x sem conhecer o sinal delas, tema da seção de quociente.
Inequação do 1º grau: isolar com cuidado
A mecânica é a da equação do 1º grau: isolar o x pelos princípios de equivalência. Exemplo completo: 5 menos 2x maior que 11. Subtraindo 5 dos dois lados: menos 2x maior que 6. Dividindo por menos 2, COM inversão: x menor que menos 3. Conjunto-solução: todos os reais menores que menos 3, bolinha aberta em menos 3 na reta.
A conferência das inequações é diferente da das equações, e mais instrutiva: teste UM número do conjunto-solução e UM de fora. Com x igual a menos 4 (dentro): 5 menos (menos 8) dá 13, maior que 11, confere. Com x igual a zero (fora): 5 não é maior que 11, confere que está fora. Esse teste de dois pontos pega inversões esquecidas em segundos e deveria ser hábito permanente.
Sistemas de inequações do 1º grau pedem a INTERSEÇÃO das soluções: x deve satisfazer todas ao mesmo tempo. Resolva cada uma, desenhe as retas numéricas alinhadas e fique com o trecho comum. O clássico duplo 1 menor que 2x menos 3 menor ou igual a 7 se resolve de uma vez, operando nos três membros: somando 3, 4 menor que 2x menor ou igual a 10; dividindo por 2, 2 menor que x menor ou igual a 5. Intervalo meio aberto: aberto em 2, fechado em 5.
Estudo do sinal: a técnica que resolve tudo
Toda inequação pode ser lida como uma pergunta sobre o SINAL de uma função: levar tudo para um lado transforma a inequação em f(x) maior que zero (ou menor, ou com igual). A partir daí, resolver é estudar onde f é positiva, negativa ou nula. Para a função afim, o estudo é imediato: ela zera na raiz e troca de sinal ali, ficando com o sinal de a à direita da raiz e o sinal contrário à esquerda.
Essa mudança de ponto de vista é o que unifica o tema: 1º grau, 2º grau, produto, quociente e módulo são o MESMO problema (onde a expressão é positiva?) com funções diferentes. A calculadora de inequações do portal exibe exatamente esse estudo: as raízes, o sinal em cada trecho e a reta numérica final com o conjunto-solução pintado.
Inequação do 2º grau: desenhe a parábola
O método robusto tem quatro passos (o HowTo desta página): tudo para um lado, raízes da equação associada, esboço da parábola, leitura. O esboço dispensa precisão: só interessam a concavidade (sinal de a) e os cruzamentos com o eixo (as raízes). Exemplo: x ao quadrado menos 5x mais 6 maior que zero. Raízes 2 e 3 (soma 5, produto 6); a positivo, concavidade para cima: a parábola está acima do eixo FORA das raízes. Solução: x menor que 2 ou x maior que 3.
A mesma expressão com menor que zero pede o trecho entre as raízes: 2 menor que x menor que 3. E com maior ou igual, as raízes entram: x menor ou igual a 2 ou x maior ou igual a 3. Em vez de decorar dentro ou fora, desenhe: dez segundos de parábola valem mais que qualquer regra de cor.
Os casos especiais do delta completam o assunto e são os favoritos das bancas. Delta igual a zero: a parábola TANGENCIA o eixo na raiz dupla; x ao quadrado menos 4x mais 4 maior que zero (que é (x menos 2) ao quadrado) vale para qualquer x exceto 2, e com maior ou igual vale para todos os reais. Delta negativo: a parábola não toca o eixo e a expressão tem o sinal de a em toda a reta; x ao quadrado mais x mais 1 maior que zero é verdadeira para qualquer x real, e menor que zero é impossível. Quem desenha, enxerga; quem só calcula, cai.
Inequação produto: o quadro de sinais
Quando a inequação compara um PRODUTO com zero, como (x menos 1)(x mais 2) maior que zero, o caminho é o quadro de sinais. Estude o sinal de cada fator: x menos 1 é negativo antes de 1 e positivo depois; x mais 2, negativo antes de menos 2 e positivo depois. Monte o quadro com os pontos críticos menos 2 e 1 dividindo a reta em três trechos, uma linha por fator, e combine os sinais na última linha: mais vezes mais dá mais, menos vezes menos dá mais, sinais trocados dão menos.
No exemplo: antes de menos 2, os dois fatores são negativos, produto positivo; entre menos 2 e 1, sinais trocados, produto negativo; depois de 1, ambos positivos, produto positivo. A inequação maior que zero responde: x menor que menos 2 ou x maior que 1. Repare que é o mesmo resultado que a parábola de raízes menos 2 e 1 daria, e não por acaso: o produto É a forma fatorada de um trinômio do 2º grau. O quadro de sinais brilha mesmo com três ou mais fatores, onde não há parábola para desenhar.
Inequação quociente: o denominador manda
Com x no denominador, a tentação é multiplicar cruzado, e é exatamente o que NÃO se deve fazer: o sinal do denominador é desconhecido, e multiplicar por ele decide errado o sentido da desigualdade. O protocolo seguro: leve tudo para um lado, reduza ao mesmo denominador e aplique o quadro de sinais ao quociente, com uma regra inegociável: os zeros do DENOMINADOR ficam fora do conjunto-solução SEMPRE, mesmo com maior ou igual, porque neles a expressão nem existe.
Exemplo completo: (x mais 3) sobre (x menos 1) menor ou igual a zero. Pontos críticos: menos 3 (zero do numerador, pode entrar) e 1 (zero do denominador, NUNCA entra). Quadro: antes de menos 3, numerador e denominador negativos, quociente positivo; entre menos 3 e 1, numerador positivo e denominador negativo, quociente negativo; depois de 1, ambos positivos, quociente positivo. Resposta para menor ou igual a zero: x maior ou igual a menos 3 E menor que 1, intervalo fechado em menos 3 e aberto em 1. A bolinha de cada extremo conta a história inteira.
Inequações modulares: distância na reta
O módulo mede distância até a origem, e as inequações modulares viram frases sobre distância. Módulo de x menor que 3: pontos a MENOS de 3 unidades da origem, ou seja, o intervalo de menos 3 a 3. Módulo de x maior que 3: pontos a MAIS de 3 unidades, as duas pontas: x menor que menos 3 ou x maior que 3. Menor aperta para dentro (intervalo); maior empurra para fora (união de duas pontas).
Com expressões dentro do módulo, a tradução é a mesma: módulo de 2x menos 1 menor ou igual a 5 significa menos 5 menor ou igual a 2x menos 1 menor ou igual a 5; somando 1 e dividindo por 2 nos três membros, menos 2 menor ou igual a x menor ou igual a 3. Para o caso maior, separa-se em duas inequações com OU. A calculadora de função modular e a de inequações resolvem esses casos mostrando a separação, e o gráfico em V da função modular explica visualmente por que menor dá intervalo é maior dá pontas.
O quadro com três fatores: onde a parábola não alcança
O verdadeiro poder do quadro de sinais aparece do terceiro fator em diante. Resolva x(x menos 2)(x mais 1) menor que zero: três pontos críticos (menos 1, 0 e 2) dividem a reta em quatro trechos. Linha do fator x: negativo antes do zero, positivo depois. Linha do x menos 2: troca em 2. Linha do x mais 1: troca em menos 1. Combinando coluna a coluna: antes de menos 1, três negativos, produto negativo; entre menos 1 e 0, dois negativos e um positivo, produto positivo; entre 0 e 2, um negativo, produto negativo; depois de 2, tudo positivo. A resposta do menor que zero: x menor que menos 1 ou x entre 0 e 2.
Há um atalho elegante escondido nesse quadro: quando todos os fatores são de 1º grau e SEM repetição, o sinal do produto simplesmente ALTERNA de trecho em trecho, começando do sinal da direita (todos positivos). Fatores repetidos quebram a alternância: um fator ao quadrado não troca sinal na sua raiz, apenas encosta no zero. Saber quando a alternância vale (e quando não vale) é o que separa o uso esperto do quadro do uso mecânico.
Sistemas de inequações na prática: a nota da prova final
O sistema de inequações resolve o problema mais popular da vida escolar: quanto preciso tirar? Suponha média final igual à média das quatro provas, aprovação com média de pelo menos 6, e notas 5, 7 e 4 nas três primeiras. A condição é (5 mais 7 mais 4 mais x) sobre 4 maior ou igual a 6. Multiplicando por 4 (positivo, sem inversão): 16 mais x maior ou igual a 24, ou seja, x maior ou igual a 8. Como a nota também não passa de 10, o conjunto-solução real é o intervalo de 8 a 10: o sistema juntou a inequação da média com as restrições do contexto.
Esse fechamento com o contexto é a marca dos sistemas: a matemática entrega um intervalo, e o enunciado corta com limites físicos (nota máxima, quantidade não negativa, capacidade do estádio). A resposta final de uma boa resolução sempre revisita o contexto antes de cravar o intervalo, e a calculadora de média escolar do portal automatiza exatamente essa conta do quanto preciso, com a situação possível ou impossível detectada.
Por que elevar ao quadrado é proibido (e o jeito certo)
Elevar os dois lados ao quadrado preserva desigualdades só quando AMBOS os lados são não negativos. Fora disso, bagunça: menos 3 é menor que 2, mas os quadrados 9 e 4 invertem a comparação. Por isso inequações com raiz quadrada exigem protocolo: primeiro a condição de existência (o radicando não pode ser negativo), depois a análise de sinais dos dois lados e, só no território não negativo, o quadrado. Pular a condição de existência cria soluções fantasmas que não existem no domínio, e as bancas cobram exatamente a comparação entre o conjunto ingênuo e o correto.
Um passo além: exponenciais e logaritmos têm a mesma regra de ouro
A inversão do sinal reaparece, disfarçada, na 1ª série do EM. Inequações exponenciais com base MAIOR que 1 preservam a desigualdade dos expoentes: de 2 elevado a x maior que 2 ao cubo vem x maior que 3, porque a exponencial de base 2 é crescente. Mas com base ENTRE 0 e 1, a função é decrescente e a desigualdade INVERTE: de meio elevado a x maior que meio ao cubo vem x MENOR que 3. O mesmo vale para logaritmos: base maior que 1 preserva, base entre 0 e 1 inverte (com a condição extra de logaritmando positivo).
Não é coincidência, é o mesmo princípio da multiplicação por negativo: funções CRESCENTES preservam a ordem, funções DECRESCENTES a invertem. Multiplicar por negativo é aplicar uma função decrescente; elevar uma base menor que 1 a expoentes também. Quem leva essa leitura para o EM resolve as exponenciais do guia de função exponencial sem decorar mais nenhuma regra nova: a pergunta é sempre se a função aplicada preserva ou espelha a ordem.
Modelagem: as inequações disfarçadas do ENEM
No ENEM, a inequação raramente chega armada; chega vestida de contexto. Um plano de celular A custa 50 reais com tudo ilimitado; o plano B custa 30 mais 25 centavos por minuto. A partir de quantos minutos o A compensa? A frase o A compensa vira 50 menor que 30 mais 0,25m, e a resolução (20 menor que 0,25m, m maior que 80) responde: acima de 80 minutos. A habilidade cobrada é a TRADUÇÃO: pelo menos vira maior ou igual, no máximo vira menor ou igual, ultrapassa vira maior.
Outro clássico: um produtor tem custo C igual a 4q mais 600 e receita R igual a 10q. Para quantas unidades há lucro? Lucro é R maior que C: 10q maior que 4q mais 600, q maior que 100. A centésima unidade ainda empata; o lucro começa na 101ª. Atenção ao contexto na resposta final: quantidades costumam ser inteiras e não negativas, então o conjunto-solução matemático às vezes precisa de um ajuste de realidade, e as bancas exploram isso.
Um terceiro disfarce comum é a comparação de planos com gráfico: duas retas de custo se cruzam num ponto, e a pergunta a partir de quando o plano B fica mais barato é a leitura de qual reta está ABAIXO depois do cruzamento. A inequação e o gráfico contam a mesma história: resolver 30 mais 0,25m menor que 50 e enxergar a reta do B abaixo da reta do A depois de m igual a 80 são o mesmo fato em duas linguagens, e o ENEM cobra a tradução nos dois sentidos.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1, dupla com inversão: resolva menos 3 menor ou igual a 5 menos 2x menor que 9. Subtraindo 5: menos 8 menor ou igual a menos 2x menor que 4. Dividindo por menos 2 e INVERTENDO os dois sinais (e a ordem dos membros): 4 maior ou igual a x maior que menos 2, ou seja, menos 2 menor que x menor ou igual a 4. Teste rápido com x igual a zero: 5 está entre menos 3 e 9, confere.
Exemplo 2, delta negativo a serviço da banca: para que valores de x vale x ao quadrado mais 2x mais 5 menor que zero? Delta: 4 menos 20, negativo; a positivo, parábola sempre acima do eixo. Resposta: nenhum x, conjunto vazio. Exemplo 3, parâmetro: para quais m a expressão x ao quadrado mais mx mais 9 é positiva para todo x? Exige delta negativo: m ao quadrado menos 36 menor que zero, ou seja, m entre menos 6 e 6. Uma inequação do 2º grau EM m, nascida de uma condição sobre outra em x: o formato preferido das provas tradicionais.
Exemplo 4, quociente com armadilha: (2x menos 4) sobre (x mais 1) maior ou igual a zero. Críticos: 2 (numerador, entra) e menos 1 (denominador, não entra). Quadro: positivo antes de menos 1, negativo entre menos 1 e 2, positivo depois de 2. Resposta: x menor que menos 1 ou x maior ou igual a 2. Quem multiplica cruzado sem critério perde a ponta esquerda inteira da resposta.
Erros comuns (e como evitá-los)
O número um, de longe: esquecer a inversão ao dividir por negativo. Antídoto duplo: circule o coeficiente negativo antes de dividir e faça o teste dos dois pontos no final. O segundo: multiplicar inequação por expressão com x (em especial multiplicar cruzado no quociente); o protocolo do quadro de sinais existe para isso. O terceiro: incluir zeros do denominador na resposta quando o sinal é largo; bolinha de denominador é sempre aberta.
Completam a lista: trocar interseção por união em sistemas (sistema pede o E, trechos comuns), errar a leitura da parábola com a negativo (desenhe a concavidade para baixo e leia de novo) e dar resposta pontual onde se pede intervalo, sintoma de tratar a inequação como equação. Em todos os casos, o estudo de sinal feito por escrito, e conferido na calculadora, expõe o passo exato em que a resolução escapou.
Como praticar com a calculadora
A calculadora de inequações do portal resolve 1º grau, 2º grau e modulares mostrando as raízes, o estudo do sinal trecho a trecho e a reta numérica com o conjunto-solução, exatamente o registro que este guia recomenda fazer no papel. Treine em ciclo: resolva, confira, e quando divergir, compare o seu quadro de sinais com o da tela. Os tópicos da 1ª série do EM situam o tema no ano escolar, o guia da função afim e o guia de Bhaskara cobrem os pré-requisitos, e o simulado estilo ENEM traz a modelagem em formato de prova.
Resumo
Inequação busca regiões, não pontos: o conjunto-solução é intervalo ou união de intervalos, escrito em três notações equivalentes. Somar preserva o sinal; multiplicar por positivo preserva; por negativo INVERTE, porque o negativo espelha a reta. No 1º grau, isole com cuidado e teste dois pontos. No 2º grau, raízes mais esboço da parábola respondem tudo, com os casos de delta zero (tangência) e delta negativo (sinal constante) de olho. Produto e quociente pedem o quadro de sinais, com zeros de denominador eternamente fora. Módulo traduz distância: menor aperta num intervalo, maior abre duas pontas. E na prova contextualizada, a batalha é a tradução do enunciado: pelo menos, no máximo, ultrapassa. Desenhe o sinal, confira na calculadora, e as desigualdades viram o que sempre foram: a metade da matemática que decide as decisões do dia a dia. E quando bater dúvida no meio de uma resolução, volte às três perguntas de ouro: multipliquei por algo negativo em algum passo? Listei os pontos críticos sem esquecer nenhum? Os extremos do intervalo entram ou ficam de fora?