Função Exponencial
Calcule f(x) = a·b^x, descubra se a função é crescente ou decrescente, veja o valor inicial e ache o expoente x a partir de um resultado pelo logaritmo, com o passo a passo.
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Informe o coeficiente a, a base b e um valor de x e a calculadora retorna f(x), classifica a função como crescente ou decrescente e mostra o valor inicial. Você pode também achar o x para um dado f(x).
Como funciona o cálculo
A função exponencial é f de x igual a a vezes b elevado a x. O valor inicial é a, em x igual a zero. Se a base é maior que 1, a função cresce; se está entre 0 e 1, decresce. Para achar o expoente a partir do resultado, usamos o logaritmo.
Para o passo a passo com exemplos, veja o guia de função exponencial. Para o caminho inverso, use a calculadora de logaritmo.
Fórmula
f(x) = a x b^x, com a != 0, b > 0 e b != 1
valor inicial: f(0) = a
b > 1: crescente | 0 < b < 1: decrescente
inverso: x = log na base b de (y/a)
Base: definição da função exponencial f(x) = a·b^x e sua relação com o logaritmo. Cálculo determinístico e auditável.
Limitações
- O coeficiente a deve ser diferente de zero.
- A base b deve ser positiva e diferente de 1.
- A função exponencial nunca muda de sinal nem toca o eixo x.
Estudar função exponencial do começo ao fim
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Atualizado em . Fontes: Definição da função exponencial f(x) = a·b^x e relação com o logaritmo.
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Perguntas frequentes
O que é uma função exponencial?
É uma função no formato f de x igual a a vezes b elevado a x, em que a incógnita x aparece no expoente. O coeficiente a é o valor inicial e a base b determina o comportamento. Por exemplo, f de x igual a 2 elevado a x dobra a cada unidade de x. A função exponencial descreve crescimentos e decaimentos muito rápidos, como juros compostos e decaimento radioativo, e é diferente da função do primeiro grau, em que x aparece na base.
Quando a função exponencial é crescente ou decrescente?
Com o coeficiente a positivo, a função é crescente quando a base b é maior que 1, pois cada aumento de x multiplica o valor por um número maior que 1. É decrescente quando a base está entre 0 e 1, pois cada aumento de x multiplica por uma fração, reduzindo o valor. Por exemplo, 2 elevado a x cresce, enquanto um meio elevado a x decresce, aproximando-se de zero sem nunca chegar a ele.
O que é o valor inicial da função exponencial?
O valor inicial é f de 0, ou seja, o valor da função quando x é zero, e ele é igual ao coeficiente a, porque qualquer base elevada a zero dá 1. Geometricamente, é o ponto onde a curva corta o eixo y. Por exemplo, na função 5 vezes 2 elevado a x, o valor inicial é 5. Esse ponto é muito importante em aplicações, pois representa a quantidade no começo, como um capital ou uma população inicial.
Qual a diferença entre função exponencial e do primeiro grau?
Na função do primeiro grau, a variável x aparece multiplicada por um número, e o crescimento é por uma quantidade fixa a cada passo. Na função exponencial, x está no expoente, e o crescimento é por um fator fixo, multiplicando a cada passo. Por isso a exponencial cresce muito mais rápido a longo prazo: enquanto a linear soma sempre a mesma quantidade, a exponencial multiplica, o que leva a valores enormes em pouco tempo.
Como achar o expoente x conhecendo o resultado?
Quando sabemos f de x igual a um valor y e queremos descobrir x, usamos o logaritmo, que é a operação inversa da exponencial. Isolamos a potência e aplicamos o logaritmo na base b, obtendo x igual ao logaritmo na base b de y dividido por a. Por exemplo, se 2 elevado a x é 8, então x é o logaritmo na base 2 de 8, que dá 3. A calculadora faz isso automaticamente quando você informa um valor de y.
Onde a função exponencial aparece na prática?
Ela modela muitos fenômenos do mundo real. Nos juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente com o tempo. No decaimento radioativo, a quantidade de material diminui exponencialmente, com o conceito de meia-vida. No crescimento de populações, na propagação de doenças e na depreciação de bens, a exponencial também aparece. Sempre que algo cresce ou decai por um fator constante a cada período, estamos diante de uma função exponencial.