O que é a função modular?

E a função que aplica o valor absoluto a uma expressao, como f(x) igual ao módulo de ax mais b. Como o módulo nunca e negativo, o gráfico tem o formato de um V: desce até o vértice, que é o ponto onde a expressao interna vale zero, e sobe de novo. A imagem da função e o conjunto dos números maiores ou iguais a zero.

Como achar o vértice da função modular?

O vértice, ou bico do V, fica no ponto em que a expressao dentro do módulo zera. Para f(x) igual ao módulo de ax mais b, basta resolver ax mais b igual a zero, o que da x igual a menos b sobre a. Nesse ponto a função vale zero, que é o seu menor valor. O gráfico e simétrico em relação a reta vertical que passa pelo vértice.

Como resolver a equação modular |ax + b| = k?

Depende do sinal de k. Se k for positivo, ha dois casos: a expressao interna igual a k e igual a menos k, o que da duas solucoes. Se k for zero, ha uma única solucao, no ponto em que a expressao zera. Se k for negativo, não ha solucao, porque o módulo nunca e negativo. A calculadora separa os casos e mostra cada conta.

E a equação com dois módulos, |ax + b| = |cx + d|?

Dois módulos são iguais quando as expressoes internas são iguais ou opostas. Isso gera dois casos lineares: ax mais b igual a cx mais d, e ax mais b igual ao oposto de cx mais d. Cada caso da no máximo uma solucao, então a equação costuma ter duas solucoes. Casos especiais, como expressoes identicas, levam a infinitas solucoes.

Onde a função modular aparece nas provas?

Ela é cobrada no ensino médio, no ENEM e em vestibulares em questões de gráfico em V, translacoes, equações e inequacoes modulares e interpretacao de distância, já que o módulo de x menos a mede a distância entre x e a na reta numérica. Também aparece em problemas de tolerancia e erro em contextos práticos.

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Função modular e equações modulares

Analise a função modular f(x) igual ao módulo de ax mais b, com vértice, raiz, imagem e o gráfico em V, e resolva equações modulares dos dois tipos clássicos: módulo igual a um número e módulo igual a outro módulo. A calculadora separa os casos, mostra o passo a passo e o conjunto-solução em notação matemática. É grátis e funciona no navegador.

a b

Como funciona a função modular

O módulo, ou valor absoluto, transforma qualquer número no seu correspondente sem sinal: o módulo de 5 é 5, e o módulo de menos 5 também é 5. Geometricamente, ele mede a distância até o zero na reta numérica. Quando aplicamos o módulo a uma expressão do primeiro grau, nasce a função modular, cujo gráfico tem o formato de um V. A parte da reta que ficaria abaixo do eixo x é refletida para cima, porque o módulo descarta o sinal negativo.

O ponto mais importante do gráfico é o vértice, onde a expressão interna vale zero. Ali a função atinge o seu valor mínimo, que é zero, e o gráfico muda de direção. À esquerda e à direita do vértice, a função é simétrica: pontos à mesma distância do vértice têm o mesmo valor. Essa simetria é a chave para entender as equações modulares, porque uma equação como módulo igual a k pergunta quais pontos estão à distância k, e quase sempre há dois, um de cada lado.

Para resolver equações modulares, o método é abrir os casos. No tipo módulo igual a um número positivo, a expressão interna pode valer o número ou o seu oposto, gerando duas equações do primeiro grau. No tipo módulo igual a módulo, as expressões internas podem ser iguais ou opostas, gerando também dois casos. O cuidado essencial é com o lado direito negativo: como o módulo nunca é negativo, a equação não tem solução nesse caso, e reconhecer isso de imediato evita contas desnecessárias.

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A função modular conversa com vários temas. Veja a calculadora de inequações (que inclui as modulares), a função do primeiro grau, o módulo como resto da divisão e explore o guia completo de função modular e o portal de matemática.

Como resolver uma equação modular

Toda equação |expressão| = k vira dois casos (ou nenhum).

Cheque o lado direito. Se k é negativo, pare: |algo| = -2 não tem solução, porque módulo nunca é negativo.
Abra os dois casos. |x - 3| = 5 vira x - 3 = 5 ou x - 3 = -5. O módulo esconde os dois sinais possíveis.
Resolva cada caso. x = 8 ou x = -2. Cada caso é uma equação comum do 1º grau.
Verifique na original. |8 - 3| = 5 e |-2 - 3| = |-5| = 5: as duas soluções conferem.

Perguntas frequentes

O que é a função modular?: E a função que aplica o valor absoluto a uma expressao, como f(x) igual ao módulo de ax mais b. Como o módulo nunca e negativo, o gráfico tem o formato de um V: desce até o vértice, que é o ponto onde a expressao interna vale zero, e sobe de novo. A imagem da função e o conjunto dos números maiores ou iguais a zero.
Como achar o vértice da função modular?: O vértice, ou bico do V, fica no ponto em que a expressao dentro do módulo zera. Para f(x) igual ao módulo de ax mais b, basta resolver ax mais b igual a zero, o que da x igual a menos b sobre a. Nesse ponto a função vale zero, que é o seu menor valor. O gráfico e simétrico em relação a reta vertical que passa pelo vértice.
Como resolver a equação modular |ax + b| = k?: Depende do sinal de k. Se k for positivo, ha dois casos: a expressao interna igual a k e igual a menos k, o que da duas solucoes. Se k for zero, ha uma única solucao, no ponto em que a expressao zera. Se k for negativo, não ha solucao, porque o módulo nunca e negativo. A calculadora separa os casos e mostra cada conta.
E a equação com dois módulos, |ax + b| = |cx + d|?: Dois módulos são iguais quando as expressoes internas são iguais ou opostas. Isso gera dois casos lineares: ax mais b igual a cx mais d, e ax mais b igual ao oposto de cx mais d. Cada caso da no máximo uma solucao, então a equação costuma ter duas solucoes. Casos especiais, como expressoes identicas, levam a infinitas solucoes.
Onde a função modular aparece nas provas?: Ela é cobrada no ensino médio, no ENEM e em vestibulares em questões de gráfico em V, translacoes, equações e inequacoes modulares e interpretacao de distância, já que o módulo de x menos a mede a distância entre x e a na reta numérica. Também aparece em problemas de tolerancia e erro em contextos práticos.
Os meus dados são enviados para algum servidor?: Não. Todo o cálculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Os campos aceitam apenas números, e o resultado aparece em notacao matemática, com o passo a passo e o gráfico em V quando o modo e o de analise da função.