Sistemas de Equações Lineares (2x2)

É um conjunto de duas ou mais equações de primeiro grau com as mesmas incógnitas, que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Em um sistema 2 por 2, temos duas equações e duas incógnitas, geralmente x e y. Resolver o sistema significa encontrar os valores de x e y que tornam todas as equações verdadeiras simultaneamente. Geometricamente, cada equação representa uma reta, e a solução é o ponto onde as retas se cruzam.

Os três métodos principais são a substituição, a adição e a regra de Cramer. Na substituição, isolamos uma incógnita em uma equação e a substituímos na outra. Na adição, somamos ou subtraímos as equações para eliminar uma incógnita. Na regra de Cramer, usamos determinantes para calcular diretamente o valor de cada incógnita. Todos levam ao mesmo resultado, e a escolha depende do gosto e do formato do sistema.

A regra de Cramer resolve sistemas usando determinantes. Calculamos o determinante principal D com os coeficientes das incógnitas, e os determinantes Dx e Dy, trocando a coluna correspondente pelos termos independentes. Se D é diferente de zero, a solução é x igual a Dx dividido por D, e y igual a Dy dividido por D. É um método rápido e sistemático, especialmente útil quando se quer apenas o valor de uma das incógnitas.

São as três classificações de um sistema. SPD, sistema possível e determinado, tem solução única, e ocorre quando o determinante D é diferente de zero. SI, sistema impossível, não tem solução, e ocorre quando D é zero mas Dx ou Dy não é, pois as retas são paralelas distintas. SPI, sistema possível e indeterminado, tem infinitas soluções, e o caso típico é D, Dx e Dy darem zero com as duas equações descrevendo a mesma reta. Há uma exceção que costuma cair em prova: em 0x mais 0y igual a 1 junto com 0x mais 0y igual a 2 os três determinantes dão zero e o sistema é impossível, porque equação de coeficientes todos nulos não descreve reta. Por isso esta calculadora classifica por escalonamento, e não pelos três determinantes: linha 0 igual a 0 indica SPI, e linha 0 igual a um número diferente de zero indica SI.

Um sistema 2 por 2 tem solução única quando o determinante principal D, igual a a1 vezes b2 menos a2 vezes b1, é diferente de zero. Geometricamente, isso significa que as duas retas têm inclinações diferentes e, portanto, se cruzam em um único ponto. Quando D é zero, as retas são paralelas, e o sistema ou não tem solução, se forem distintas, ou tem infinitas, se forem coincidentes.

Sim, com muita frequência. Eles modelam situações com duas quantidades desconhecidas relacionadas por duas condições, como descobrir o preço de dois produtos a partir de duas compras, calcular as idades de duas pessoas a partir de relações entre elas, ou misturar soluções com concentrações diferentes. Traduzir o enunciado para um sistema e resolvê-lo é uma das aplicações mais úteis da álgebra no cotidiano e nas provas.