Calculadora de matrizes e determinantes
Some, subtraia e multiplique matrizes, calcule o determinante, a transposta e a matriz inversa, tudo no navegador e com o resultado mostrado em notação matemática. Escolha a operação, o tamanho 2x2 ou 3x3, preencha os números e veja a resposta na hora. A ferramenta confere as dimensões e avisa quando uma operação não é possível, em vez de dar um resultado errado.
Matriz A
Matriz B
Como funcionam as operações com matrizes
Uma matriz é uma tabela de números organizada em linhas e colunas. A dimensão de uma matriz é dada por esses dois valores: uma matriz 2x3 tem duas linhas e três colunas. As operações seguem regras precisas. Na soma e na subtração, as duas matrizes precisam ter a mesma dimensão, e a conta é feita posição por posição. Na multiplicação por um número, ou escalar, cada elemento é multiplicado por esse número.
A multiplicação entre duas matrizes é a operação que mais confunde no começo. Ela só é possível quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, e o resultado tem o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Cada elemento do resultado é a soma dos produtos de uma linha pela coluna correspondente. Por isso a ordem dos fatores altera o resultado, ao contrário do que acontece com números comuns.
O determinante é um número associado a toda matriz quadrada, e ele revela propriedades importantes: quando vale zero, a matriz é singular e não tem inversa. A matriz inversa, por sua vez, desfaz a multiplicação, do mesmo jeito que dividir desfaz multiplicar com números. A inversa é a base para resolver sistemas de equações lineares na forma matricial e aparece bastante na geometria analítica e na computação gráfica. Esta calculadora detecta a matriz singular e avisa quando a inversa não existe.
Continue estudando
As matrizes se conectam a vários temas do portal. Veja como resolver uma equação do primeiro grau, como funcionam os sistemas de equações lineares e explore o guia completo de matrizes e determinantes e o portal de matemática completo. Para resolver contas e expressões, use também o solucionador de expressões.
Como calcular o determinante de uma matriz
Os casos 2x2 e 3x3 cobrem quase todas as provas.
- No 2x2, multiplique as diagonais. det = (diagonal principal) - (diagonal secundária): para linhas (a, b) e (c, d), det = ad - bc.
- No 3x3, use Sarrus. Repita as duas primeiras colunas à direita, some os três produtos das diagonais que descem e subtraia os três das que sobem.
- Interprete o resultado. Determinante zero significa linhas linearmente dependentes, ou seja, uma linha é combinação das outras: a matriz não tem inversa e o sistema não tem solução única. Só no 2x2 isso equivale a duas linhas proporcionais; do 3x3 em diante a dependência pode envolver as três linhas. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
Perguntas frequentes
- Como somar e subtrair matrizes?
- A soma e a subtração de matrizes só existem quando as duas matrizes têm exatamente a mesma dimensão, ou seja, o mesmo número de linhas e de colunas. A conta é feita elemento a elemento: soma-se ou subtrai-se cada par de números que ocupa a mesma posição. Se as dimensões forem diferentes, a operação não é definida, e a calculadora avisa.
- Quando dá para multiplicar duas matrizes?
- A multiplicação A vezes B só é possível quando o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B. O elemento da posição linha i, coluna j do resultado é a soma dos produtos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B. Por isso a ordem importa: A vezes B costuma ser diferente de B vezes A.
- Como calcular o determinante de uma matriz 2x2 e 3x3?
- No caso 2x2, o determinante é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. No caso 3x3, pode-se usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. A calculadora usa a expansão de Laplace, que funciona para qualquer matriz quadrada e dá o mesmo resultado da regra de Sarrus no 3x3.
- O que significa determinante igual a zero?
- Determinante zero significa que as linhas da matriz são linearmente dependentes: uma delas pode ser escrita como combinação das outras. Cuidado com o atalho comum de dizer que isso é o mesmo que ter duas linhas proporcionais. No caso 2x2 as duas ideias coincidem, mas a partir do 3x3 não. Na matriz de linhas (1, 0, 1), (0, 1, 1) e (1, 1, 2), a terceira linha é a soma das duas primeiras, o determinante dá zero e nenhum par de linhas é proporcional. A consequência prática é a mesma em qualquer tamanho: a matriz não tem inversa e o sistema associado não tem solução única.
- O que é uma matriz inversa e quando ela existe?
- A matriz inversa de A, escrita A elevado a menos 1, é aquela que multiplicada por A resulta na matriz identidade. Ela só existe quando a matriz é quadrada e o determinante é diferente de zero. Quando o determinante é zero, a matriz é chamada de singular e não tem inversa, e a calculadora informa isso em vez de dar um resultado errado.
- Para que servem as matrizes na prática?
- Matrizes aparecem em sistemas de equações lineares, computação gráfica, transformações geométricas, estatística, economia e engenharia. No ensino médio e em vestibulares, elas costumam cair em questões de operações, determinantes e resolução de sistemas pela regra de Cramer, que usa determinantes.
- Os meus dados são enviados para algum servidor?
- Não. Todo o cálculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Você digita os números, escolhe a operação e vê o resultado na hora, em notação matemática. As células aceitam apenas números, com vírgula ou ponto, o que mantém a ferramenta segura.