Lista de exercícios - Sistemas de equações lineares - ValorFinal (valorfinal.com.br)

Exercícios de Sistemas de equações lineares resolvidos

Um sistema linear junta duas ou mais equações que precisam valer ao mesmo tempo. Nestes exercícios resolvidos você treina a adição e a substituição, a tradução de problemas (cabeças e patas, ingressos) e o reconhecimento dos sistemas com infinitas soluções.

1. Questão 1

   Fácil

   Resolva o sistema: x + y = 10 e x - y = 2.

   • A) x = 6, y = 4
   • B) x = 5, y = 5
   • C) x = 7, y = 3
   • D) x = 8, y = 2
   • E) x = 4, y = 6
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   1. Método da adição: somando as duas equações, o y cancela: 2x = 12.
   2. x = 6; substituindo, 6 + y = 10, logo y = 4.

   Resposta (alternativa A): x = 6 e y = 4.

2. Questão 2

   Fácil

   Se y = 2x e x + y = 12, quanto vale y?

   • A) 2
   • B) 4
   • C) 6
   • D) 8
   • E) 12
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   1. Método da substituição: troque y por 2x na segunda equação.
   2. x + 2x = 12, logo 3x = 12 e x = 4.
   3. y = 2 · 4 = 8.

   Resposta (alternativa D): y = 8.

3. Questão 3

   Médio

   Em uma lanchonete, 2 cafés e 1 pão custam R$ 8,00; 1 café e 1 pão custam R$ 5,50. Quanto custa o café?

   • A) R$ 2,00
   • B) R$ 2,50
   • C) R$ 3,00
   • D) R$ 3,50
   • E) R$ 5,50
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   1. Sistema: 2c + p = 8 e c + p = 5,50.
   2. Subtraindo a segunda da primeira, o p cancela: c = 8 - 5,50 = 2,50.
   3. Conferindo: p = 5,50 - 2,50 = 3,00; e 2 · 2,50 + 3,00 = 8,00.

   Resposta (alternativa B): O café custa R$ 2,50.

4. Questão 4

   Médio

   Em um sítio há galinhas e coelhos: 10 cabeças e 28 patas. Quantos coelhos há?

   • A) 3
   • B) 4
   • C) 6
   • D) 8
   • E) 10
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   1. Sistema: $g + c = 10$ (cabeças) e 2g + 4c = 28 (patas).
   2. Da primeira, g = 10 - c. Substituindo: 2(10 - c) + 4c = 28.
   3. 20 + 2c = 28, logo c = 4 (e g = 6). Conferindo as patas: 12 + 16 = 28.

   Resposta (alternativa B): 4 coelhos (e 6 galinhas).

5. Questão 5

   Médio

   Um teatro vendeu 30 ingressos e arrecadou R$ 500. O ingresso de adulto custa R$ 20 e o de criança R$ 10. Quantos adultos foram?

   • A) 10
   • B) 15
   • C) 20
   • D) 25
   • E) 30
   Ver resolução+

   1. Sistema: a + c = 30 e 20a + 10c = 500.
   2. Multiplicando a primeira por 10: 10a + 10c = 300. Subtraindo da segunda: 10a = 200.
   3. a = 20 (e c = 10). Conferindo: 20 · 20 + 10 · 10 = 400 + 100 = 500.

   Resposta (alternativa C): 20 adultos.

6. Questão 6

   Difícil

   O sistema x + y = 5 e 2x + 2y = 10 tem:

   • A) solução única
   • B) nenhuma solução
   • C) infinitas soluções
   • D) exatamente duas soluções
   • E) solução apenas com x = y
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   1. A segunda equação é a primeira multiplicada por 2: não traz informação nova.
   2. Na prática há UMA equação para duas incógnitas: qualquer par com x + y = 5 serve (5 e 0, 4 e 1, 2,5 e 2,5...).
   3. É o sistema possível e indeterminado (SPI).

   Resposta (alternativa C): Infinitas soluções (SPI).

7. Questão 7

   Médio

   Resolva o sistema $3x + 2y = 16$ e $x - y = 2$.

   • A) $x = 2$ e $y = 4$
   • B) $x = 4$ e $y = 2$
   • C) $x = 3$ e $y = 1$
   • D) $x = 6$ e $y = 4$
   • E) $x = 5$ e $y = 3$
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   1. A segunda equação entrega $x$ de graça: $x = y + 2$.
   2. Substituindo na primeira: $3(y + 2) + 2y = 16$, ou seja, $5y + 6 = 16$.
   3. $y = 2$ e $x = 4$. Conferindo na primeira: $12 + 4 = 16$.

   Resposta (alternativa B): $x = 4$ e $y = 2$.

8. Questão 8

   Médio

   Quantas soluções tem o sistema $x + y = 4$ e $2x + 2y = 10$?

   • A) nenhuma
   • B) uma
   • C) duas
   • D) infinitas
   • E) depende de $x$
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   1. Divida a segunda equação por 2: ela vira $x + y = 5$.
   2. A mesma soma não pode dar 4 e 5 ao mesmo tempo.
   3. As retas são paralelas e nunca se cruzam, então o sistema é impossível.

   Resposta (alternativa A): Nenhuma solução: o sistema é impossível.

9. Questão 9

   Médio

   Numa papelaria, 3 cadernos e 2 canetas custam R$ 34,00, e 1 caderno com 1 caneta custa R$ 13,00. Quanto custa o caderno?

   • A) R$ 5,00
   • B) R$ 6,00
   • C) R$ 7,00
   • D) R$ 8,00
   • E) R$ 9,00
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   1. Chame o caderno de $c$ e a caneta de $n$: $3c + 2n = 34$ e $c + n = 13$.
   2. Da segunda, $n = 13 - c$. Substituindo: $3c + 2(13 - c) = 34$.
   3. $3c + 26 - 2c = 34$, então $c = 8$ e a caneta custa 5.

   Resposta (alternativa D): O caderno custa R$ 8,00.