O que é o Binômio de Newton?

E a fórmula que expande qualquer potencia (x + y) elevado a n como uma soma de n + 1 termos: cada termo e C(n, k) vezes x elevado a (n - k) vezes y elevado a k. Os coeficientes C(n, k) são os números binomiais, exatamente os da linha n do Triângulo de Pascal. A fórmula evita multiplicar o binômio por ele mesmo n vezes.

O que é o Triângulo de Pascal?

E o triângulo numérico em que cada linha comeca e termina em 1 e cada número interno e a soma dos dois vizinhos de cima (relação de Stifel). A linha n traz os coeficientes da expansão de (x + y) elevado a n, na ordem. Ele também guarda padrões famosos: a soma da linha n vale 2 elevado a n, e as diagonais trazem os números triangulares.

Como calcular C(n, k) sem fatorial gigante?

Pela forma multiplicativa: C(n, k) e o produto de k fatores decrescentes a partir de n, dividido por k fatorial, e os fatoriais grandes cancelam antes de qualquer conta. Pela simetria C(n, k) = C(n, n - k), vale escolher o menor k. A calculadora usa aritmética exata, então C(60, 30) sai com os 18 digitos corretos, sem arredondamento.

Qual é o termo geral da expansão binomial?

T(k+1) = C(n, k) a^(n-k) b^k, para (a + b) elevado a n, com k comecando em 0. E a fórmula das questões que pedem um termo especifico, como o termo em x ao cubo ou o termo independente de x: monta-se o expoente desejado, resolve-se para k e calcula-se só aquele termo, sem expandir tudo.

Por que a soma da linha n do triângulo vale 2 elevado a n?

Porque somar C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) conta todos os subconjuntos de um conjunto com n elementos, e cada elemento tem 2 escolhas (entrar ou não entrar), dando 2 elevado a n no total. E o mesmo resultado de substituir x = y = 1 no Binômio de Newton.

Os meus dados são enviados para algum servidor?

Não. Todo o cálculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Os campos aceitam apenas inteiros dentro de limites seguros (linha até 30, n até 100 no coeficiente, expoente até 12 na expansão), e os resultados usam aritmética exata, com o passo a passo auditavel.

Calculadora gratuita

Binômio de Newton e Triângulo de Pascal

Três ferramentas em uma: o Triângulo de Pascal montado até a linha que você pedir (até a 30), o coeficiente binomial C(n, k) com valor exato até n = 100, sem arredondamento, e a expansão completa de (ax + by) elevado a n, com os sinais corretos e a tabela termo a termo separando o binomial puro do coeficiente final. Tudo com passo a passo. É grátis e funciona no navegador.

até a linha (0 a 30)

Como funciona este cálculo

O coeficiente binomial C(n, k) conta de quantas formas dá para escolher k objetos entre n, sem importar a ordem. A definição usa fatoriais, mas a calculadora trabalha com a forma multiplicativa, em que os fatoriais grandes cancelam: para C(10, 4), basta multiplicar 10, 9, 8 e 7 e dividir por 4, 3, 2 e 1, dando 210. A simetria C(n, k) = C(n, n - k) reduz o trabalho pela metade, e a aritmética interna é exata, o que importa porque os binomiais crescem rápido: C(60, 30) tem 18 dígitos, além do que a aritmética comum de ponto flutuante representa sem erro.

O Triângulo de Pascal organiza todos os binomiais de uma vez: a linha n contém C(n, 0) até C(n, n), e cada número interno é a soma dos dois vizinhos de cima, a relação de Stifel. Essa regra de formação é o que liga o triângulo à expansão de potências: multiplicar (x + y) por si mesmo mais uma vez combina os coeficientes da linha anterior exatamente como a soma dos vizinhos. O triângulo ainda esconde padrões clássicos: a soma da linha n é 2 elevado a n, as primeiras diagonais trazem os números naturais e os triangulares, e colorir os ímpares desenha o fractal de Sierpinski.

A expansão de (ax + by) elevado a n aplica o termo geral T(k+1) = C(n, k) (ax)^(n-k) (by)^k para k de 0 a n. Quando a ou b são negativos, os sinais alternam conforme a paridade do expoente, a fonte clássica de erro em prova; a tabela termo a termo da calculadora separa o C(n, k) puro do coeficiente final já multiplicado pelas potências de a e b, para deixar visível de onde cada número vem. O limite de expoente 12 mantém a expansão legível na tela; para coeficientes de potências maiores, o modo C(n, k) cobre até n = 100.

Continue estudando

O binômio conversa com a combinatória e a álgebra. Veja a probabilidade, o guia de potenciação e radiciação, a calculadora de polinômios e o portal de matemática.

Como calcular uma combinação C(n, k)

O caminho rápido corta os fatoriais antes de multiplicar.

Escreva só os k fatores do topo. C(10, 2): em vez de 10!/(2! x 8!), escreva 10 x 9 (k = 2 fatores descendo de n).
Divida pelo fatorial de k. 10 x 9 / 2! = 90 / 2 = 45. Pronto: C(10, 2) = 45.
Use a simetria quando ajudar. C(n, k) = C(n, n-k): C(10, 8) é o mesmo que C(10, 2) = 45, com muito menos conta.

Perguntas frequentes

O que é o Binômio de Newton?: E a fórmula que expande qualquer potencia (x + y) elevado a n como uma soma de n + 1 termos: cada termo e C(n, k) vezes x elevado a (n - k) vezes y elevado a k. Os coeficientes C(n, k) são os números binomiais, exatamente os da linha n do Triângulo de Pascal. A fórmula evita multiplicar o binômio por ele mesmo n vezes.
O que é o Triângulo de Pascal?: E o triângulo numérico em que cada linha comeca e termina em 1 e cada número interno e a soma dos dois vizinhos de cima (relação de Stifel). A linha n traz os coeficientes da expansão de (x + y) elevado a n, na ordem. Ele também guarda padrões famosos: a soma da linha n vale 2 elevado a n, e as diagonais trazem os números triangulares.
Como calcular C(n, k) sem fatorial gigante?: Pela forma multiplicativa: C(n, k) e o produto de k fatores decrescentes a partir de n, dividido por k fatorial, e os fatoriais grandes cancelam antes de qualquer conta. Pela simetria C(n, k) = C(n, n - k), vale escolher o menor k. A calculadora usa aritmética exata, então C(60, 30) sai com os 18 digitos corretos, sem arredondamento.
Qual é o termo geral da expansão binomial?: T(k+1) = C(n, k) a^(n-k) b^k, para (a + b) elevado a n, com k comecando em 0. E a fórmula das questões que pedem um termo especifico, como o termo em x ao cubo ou o termo independente de x: monta-se o expoente desejado, resolve-se para k e calcula-se só aquele termo, sem expandir tudo.
Por que a soma da linha n do triângulo vale 2 elevado a n?: Porque somar C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) conta todos os subconjuntos de um conjunto com n elementos, e cada elemento tem 2 escolhas (entrar ou não entrar), dando 2 elevado a n no total. E o mesmo resultado de substituir x = y = 1 no Binômio de Newton.
Os meus dados são enviados para algum servidor?: Não. Todo o cálculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Os campos aceitam apenas inteiros dentro de limites seguros (linha até 30, n até 100 no coeficiente, expoente até 12 na expansão), e os resultados usam aritmética exata, com o passo a passo auditavel.