Um vetor e uma grandeza que tem tamanho (módulo), direção e sentido, representada por uma seta. No plano, ele é descrito por duas componentes, como u igual a (3, 4): três unidades na horizontal e quatro na vertical. Vetores modelam deslocamentos, velocidades e forcas, e são a base da geometria analitica e da física.

Como somar e subtrair vetores?

Componente a componente: soma-se x com x e y com y. Geometricamente, a soma segue a regra do paralelogramo, colocando o início de um vetor na ponta do outro. A subtração u menos v e o vetor que liga a ponta de v a ponta de u, e também sai componente a componente.

O que é o módulo de um vetor?

E o comprimento da seta, calculado pelo teorema de Pitagoras: a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. O vetor (3, 4) tem módulo 5, porque a raiz de 9 mais 16 e 5. O módulo nunca e negativo, e só vale zero para o vetor nulo.

Para que serve o produto escalar?

O produto escalar multiplica componente a componente e soma os resultados, devolvendo um número. Ele mede o alinhamento entre dois vetores: positivo quando apontam para lados parecidos, zero quando são perpendiculares e negativo quando apontam para lados opostos. E também a chave para calcular o ângulo entre os vetores.

Como achar o ângulo entre dois vetores?

Pela fórmula do cosseno: o cosseno do ângulo e o produto escalar dividido pelo produto dos módulos. Com o arco cosseno, chega-se ao ângulo entre 0 e 180 graus. O caso especial e o vetor nulo, que não tem direção definida, então o ângulo com ele não existe, e a calculadora avisa.

Os meus dados são enviados para algum servidor?

Não. Todo o cálculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Você digita as componentes, escolhe a operação e ve o resultado em notacao matemática, com o diagrama dos vetores no plano cartesiano.

Calculadora gratuita

Calculadora de vetores no plano

Some e subtraia vetores, multiplique por escalar, calcule o módulo, o produto escalar, o ângulo entre dois vetores e o versor, com o resultado em notação matemática e o diagrama dos vetores no plano cartesiano. A ferramenta também identifica vetores paralelos e perpendiculares. É grátis e funciona no navegador.

Operação:

u = (,)

v = (,)

Como trabalhar com vetores

O vetor é a ferramenta matemática para grandezas que não se resumem a um número: um deslocamento tem distância e direção; uma força tem intensidade e sentido. No plano, o vetor vira um par de componentes, e as operações ficam todas algébricas. Somar vetores é somar componentes, e a interpretação geométrica é a regra do paralelogramo. Multiplicar por um escalar estica, encolhe ou inverte a seta, sem mudar a sua reta de direção.

O módulo, comprimento da seta, sai do teorema de Pitágoras aplicado às componentes. Já o produto escalar condensa em um único número a relação entre dois vetores: ele combina os módulos com o cosseno do ângulo entre eles. Por isso o produto escalar zero é o teste clássico de perpendicularidade, e o sinal do produto indica se os vetores apontam para o mesmo lado ou para lados opostos. Invertendo a fórmula, o arco cosseno entrega o ângulo entre os vetores, sempre entre zero e cento e oitenta graus.

Dois conceitos completam a base. O paralelismo é detectado pelo determinante das componentes: quando vale zero, um vetor é múltiplo do outro. E o versor é o vetor unitário na mesma direção e sentido do original, obtido dividindo cada componente pelo módulo; ele guarda só a informação de direção, com comprimento um. Esses conceitos aparecem na física do ensino médio, na geometria analítica e nos cursos de exatas, e o diagrama no plano ajuda a visualizar cada operação.

Continue estudando

Os vetores se conectam à geometria e à trigonometria. Estude a geometria analítica, o teorema de Pitágoras e a trigonometria, e explore o guia completo de vetores e o portal de matemática. Para números no plano com parte imaginária, veja a calculadora de números complexos.

Como somar vetores e calcular o módulo

Com componentes, toda operação vetorial vira conta separada por eixo.

Escreva os vetores em componentes. u = (3, 1) e v = (1, 2): cada coordenada diz quanto o vetor anda em x e em y.
Some componente a componente. u + v = (3 + 1, 1 + 2) = (4, 3). Subtração e multiplicação por escalar seguem a mesma regra, eixo a eixo.
Calcule o módulo por Pitágoras. |u + v| = raiz de (4² + 3²) = raiz de 25 = 5. Em 3D, inclua o z² dentro da raiz.

Perguntas frequentes

O que é um vetor?: Um vetor e uma grandeza que tem tamanho (módulo), direção e sentido, representada por uma seta. No plano, ele é descrito por duas componentes, como u igual a (3, 4): três unidades na horizontal e quatro na vertical. Vetores modelam deslocamentos, velocidades e forcas, e são a base da geometria analitica e da física.
Como somar e subtrair vetores?: Componente a componente: soma-se x com x e y com y. Geometricamente, a soma segue a regra do paralelogramo, colocando o início de um vetor na ponta do outro. A subtração u menos v e o vetor que liga a ponta de v a ponta de u, e também sai componente a componente.
O que é o módulo de um vetor?: E o comprimento da seta, calculado pelo teorema de Pitagoras: a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. O vetor (3, 4) tem módulo 5, porque a raiz de 9 mais 16 e 5. O módulo nunca e negativo, e só vale zero para o vetor nulo.
Para que serve o produto escalar?: O produto escalar multiplica componente a componente e soma os resultados, devolvendo um número. Ele mede o alinhamento entre dois vetores: positivo quando apontam para lados parecidos, zero quando são perpendiculares e negativo quando apontam para lados opostos. E também a chave para calcular o ângulo entre os vetores.
Como achar o ângulo entre dois vetores?: Pela fórmula do cosseno: o cosseno do ângulo e o produto escalar dividido pelo produto dos módulos. Com o arco cosseno, chega-se ao ângulo entre 0 e 180 graus. O caso especial e o vetor nulo, que não tem direção definida, então o ângulo com ele não existe, e a calculadora avisa.
Os meus dados são enviados para algum servidor?: Não. Todo o cálculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Você digita as componentes, escolhe a operação e ve o resultado em notacao matemática, com o diagrama dos vetores no plano cartesiano.