Funções trigonométricas: período, amplitude e gráfico
Analise a função f(x) = a sen(bx + c) + d, e as variantes com cosseno e tangente, e veja o que cada coeficiente faz com a onda: a amplitude, o período, a defasagem e o deslocamento vertical, com a imagem e os valores de máximo e mínimo. O gráfico interativo desenha a sua função ao lado da curva base tracejada, para a comparação ficar visual. Os campos aceitam múltiplos de pi, como pi/2 e -2pi. É grátis e funciona no navegador.
Os campos aceitam múltiplos de pi: digite pi/2, -pi/3 ou 2pi, além de números como 0,5.
Como funciona a análise da função trigonométrica
Toda função do tipo a sen(bx + c) + d é a função seno básica com quatro transformações aplicadas, uma por coeficiente. O a estica a curva na vertical: o módulo de a é a amplitude, a distância entre o eixo central da onda e o pico. O b mexe na horizontal e define o período, que vale 2pi dividido pelo módulo de b para seno e cosseno. Quanto maior o b, mais comprimida a onda, ou seja, mais rápido ela se repete.
O c desloca a curva para os lados, mas com uma pegadinha clássica de prova: o deslocamento não é o próprio c, e sim menos c dividido por b, a chamada defasagem ou fase. Em sen(2x - pi), por exemplo, a curva anda pi/2 para a direita, não pi. Por fim, o d sobe ou desce a curva inteira: o eixo central passa a ser a reta y = d, e a imagem vira o intervalo que vai de d menos a amplitude até d mais a amplitude.
A calculadora extrai os quatro parâmetros, mostra o porquê de cada um no passo a passo e desenha o gráfico com a janela ajustada para caber duas ondas completas. A curva tracejada é a função base sem transformações, o que torna visível o efeito de cada coeficiente. Para a tangente, a análise muda: o período natural é pi, não existe amplitude, porque a curva não é limitada, e o gráfico é quebrado nas assíntotas verticais, onde o cosseno do ângulo zera. Esse comportamento aparece automaticamente no desenho.
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A senoide conversa com todo o ciclo trigonométrico. Veja o ciclo trigonométrico interativo, a tabela de seno, cosseno e tangente, o guia completo do ciclo trigonométrico, o guia de seno, cosseno e tangente e o portal de matemática.
Perguntas frequentes
- O que é a amplitude de uma função trigonometrica?
- E a distância entre o eixo central da onda e o pico, dada pelo módulo do coeficiente a em f(x) = a sen(bx + c) + d. Com a = 3, a curva sobe 3 unidades acima do eixo central e desce 3 abaixo. O sinal de a não muda a amplitude: ele apenas reflete a curva em torno do eixo central. A tangente não tem amplitude, porque não é limitada.
- Como calcular o período de seno, cosseno e tangente?
- Para seno e cosseno, o período e 2pi dividido pelo módulo de b; para a tangente, e pi dividido pelo módulo de b. O coeficiente b comprime ou estica a onda na horizontal: f(x) = sen(2x) completa uma volta em pi, metade do normal, enquanto sen(x/2) demora 4pi. O período e o comprimento de uma onda completa, depois do qual o desenho se repete identico.
- O que é defasagem (deslocamento horizontal)?
- E o quanto a curva anda para o lado em relação a função base, calculada por menos c sobre b. Em f(x) = sen(x - pi/2), a defasagem e pi/2 positiva, então a curva desloca pi/2 para a direita e coincide com o gráfico do cosseno refletido. Defasagem negativa desloca para a esquerda. E o conceito por tras da relação entre seno e cosseno: um e o outro deslocado de pi/2.
- Para que serve o coeficiente d?
- O d desloca a curva inteira na vertical: o eixo central da onda deixa de ser o eixo x e passa a ser a reta y = d. Com ele, a imagem de seno e cosseno vira o intervalo de d menos módulo de a até d mais módulo de a. E o coeficiente que modela situações com valor médio diferente de zero, como a altura de uma cabine de roda gigante, que oscila em torno da altura do eixo da roda.
- Por que a tangente e diferente do seno e do cosseno?
- A tangente e o quociente do seno pelo cosseno, então ela explode onde o cosseno zera: ali o gráfico tem assintotas verticais e a curva salta de mais infinito para menos infinito. Por isso a imagem e o conjunto de todos os reais, não um intervalo, e o período natural e pi, não 2pi, já que o desenho se repete a cada meia volta do ciclo trigonometrico.
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